TEORIA DOS CONJUNTOS

Símbolos

: pertence	: existe
: não pertence	: não existe
: está contido	: para todo (ou qualquer que seja)
: não está contido	: conjunto vazio
: contém	N: conjunto dos números naturais
: não contém	Z : conjunto dos números inteiros
/ : tal que	Q: conjunto dos números racionais
: implica que	Q'= I: conjunto dos números irracionais
: se, e somente se	R: conjunto dos números reais

Representações de Conjuntos

a) Extensão ou Enumeração

Quando o conjunto é representado por uma listagem ou enumeração de seus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula.

Exemplos:

• Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana};
• Conjunto dos meses com menos de 31 dias: {fevereiro, abril, junho, setembro, novembro};
• Conjunto dos números pares inteiros maiores do que 8 e menores do que 22: {10; 12; 14; 16; 18; 20}.

Observações:

1. Na representação por extensão cada elemento deve ser escrito apenas uma vez;
2. É uma boa prática adotar a separação dos elementos em conjuntos numéricos como sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4};
3. Esta representação pode, também, ser adotada para conjuntos infinitos em que se evidencia a lei de formação de seus elementos e colocando-se reticências no final: {2, 4, 6, 8, 10, …};
4. Representação semelhante pode ser adotada para conjuntos finitos com um grande número de elementos: {0, 1, 2, 3, …, 100}.

b) Propriedade dos Elementos

Representação em que o conjunto é descrito por uma propriedade característica comum a todos os seus elementos. Simbolicamente:

A = {x | x tem a Propriedade P}

e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a propriedade P.

Exemplos:

• A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de 2006};
• B = {x | x é um número inteiro par e 8 < x < 22}. Último exemplo do item a) acima;
• C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}.

c) Diagrama de Euler-Venn

Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e não entrelaçada, como mostrado na figura abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os elementos do conjunto.

Conjunto Unitário e Conjunto Vazio

Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia de pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a existência de conjunto com apenas um elemento, chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado de conjunto vazio (Ø).

O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um conjunto onde a propriedade P é logicamente falsa.

Exemplos de Conjuntos Unitários:

• Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro};
• Conjunto dos números inteiros maiores do que 10 e menores do que 12: {11};
• Conjunto das vogais da palavra blog: {o}.

Exemplos de Conjuntos Vazios:

• {x | x > 0 e x < 0} = Ø;
• Conjunto dos meses com mais de 31 dias;
• {x | x² = -1 e x é um número real} = Ø.

Conjunto Universo

É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U.

Assim, se procuramos determinar as soluções reais de uma equação do segundo grau, nosso conjunto Universo U é R (conjunto dos números reais); se estamos interessados em determinar os deputados federais envolvidos com o mensalão, nesse caso o universo U tem como elementos todos os deputados federais da atual legislatura.

Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através de uma propriedade P, fixemos o conjunto universo em que estamos trabalhando, escrevendo:

Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A:

Observações:

1. A título de ilustração: O A invertido na expressão acima significa “para todo”;
2. {a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a noção de ordem não interfere na igualdade de conjuntos;
3. É evidente que para A ser diferente de B é suficiente que um elemento de A não pertença a B ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, c, d}.

Subconjunto

Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, e sómente se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B:

onde a notaçãosignifica “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. A leitura da notação no sentido inverso é feita como “B contém A”. Observe que a abertura do sinal de inclusão fica sempre direcionado para o conjunto “maior”. Na forma de diagrama é representado como:

Exemplos:

• {1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6}
• Ø C {a, b};
• {a, b} C {a, b};
• {a, b, c} ¢ {a, c, d, e}, onde ¢ significa “não está contido”, uma vez que o elemento b do primeiro conjunto não pertence ao segundo.

Observe que na definição de igualdade de conjuntos está explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, ou seja, que A está contido em B e B está contido em A. Assim, para provarmos que dois conjuntos são iguais devemos provar que:

Propriedades da Inclusão

Sejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as seguintes propriedades:

1. Ø C D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
2. D C D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio (propriedade Reflexiva);
3. D C E e E C D => D = E: veja acima (propriedade Anti-Simétrica);
4. D C E e E C F => D C F: Se um conjunto é subconjunto de um outro e este é subconjunto de um terceiro, então o primeiro é subconjunto do terceiro (propriedade Transitiva).

Com exceção da primeira propriedade, a demonstração das demais é bastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto, provar a primeira:

Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é um subconjunto de D, então é necessário que pelo menos um elemento desse conjunto não esteja contido no conjunto D. Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sentença Ø ¢ D é sempre falsa. Logo, o conjunto vazio está contido em D é sempre verdadeira.

Conjunto das Partes

Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E – P(E) – o conjunto formado por todos os subconjuntos de E:

Exemplos:

• Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b}, {a.c}. {b,c}, {a,b,c}}
• Se B = {a, b}, então P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}};
• Se C = {a}, então P(C) = {Ø, {a}}.

Observações:

1. Enfatizo, apesar de colocado na própria definição, que os elementos de P(E) são conjuntos;
2. Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos símbolos pertence (não pertence) e contido (não contido);
3. No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e {{a}} é um subconjunto de P(A);
4. Se definirmos n(E) como sendo o número de elementos do conjunto E, então n(P(E)) = 2^n(E). A propriedade é válida para conjuntos finitos;
5. Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 2³, n(B) = 2 e n(P(B)) = 4 = 2² e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 2¹.

A demonstração do item 5. é feita pelo Princípio da Indução Finita e será feita oportunamente.

Por enquanto é só. Aguardem o próximo artigo. Enquanto isto dê a sua opinião nos comentários, ela é muito importante.