Matemática financeira - parte II

JUROS SIMPLES

    O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

J = P . i . n

Onde:

J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos

   

    Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

    Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

   Montante = Principal + Juros
   Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )

M = P . ( 1 + ( i . n ) )

    Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

    SOLUÇÃO:
    M = P . ( 1 + (i.n) )
    M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42

    Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

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   Exercícios sobre juros simples:

   1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.

    0.13 / 6 = 0.02167
    logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195

    j = 1200 x 0.195 = 234

    2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

    Temos: J = P.i.n
    A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
    Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
    J = 40000.0,001.125 = R$5000,00

    3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?

    Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
    Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
    3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
    P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67

   4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

   Objetivo: M = 2.P
    Dados: i = 150/100 = 1,5
    Fórmula: M = P (1 + i.n)
    Desenvolvimento:

2P = P (1 + 1,5 n)2 = 1 + 1,5 nn = 2/3 ano = 8 meses

Matemática Financeira

Conceitos básicos     A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.     Capital O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).       Juros Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.        JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.        O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.     Quando usamos juros simples e juros compostos?     A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.     Taxa de juros     A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).     Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) Fonte: http://www.somatematica.com.br

TEORIA DOS CONJUNTOS

Símbolos

: pertence	: existe
: não pertence	: não existe
: está contido	: para todo (ou qualquer que seja)
: não está contido	: conjunto vazio
: contém	N: conjunto dos números naturais
: não contém	Z : conjunto dos números inteiros
/ : tal que	Q: conjunto dos números racionais
: implica que	Q'= I: conjunto dos números irracionais
: se, e somente se	R: conjunto dos números reais

Representações de Conjuntos

a) Extensão ou Enumeração

Quando o conjunto é representado por uma listagem ou enumeração de seus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula.

Exemplos:

• Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana};
• Conjunto dos meses com menos de 31 dias: {fevereiro, abril, junho, setembro, novembro};
• Conjunto dos números pares inteiros maiores do que 8 e menores do que 22: {10; 12; 14; 16; 18; 20}.

Observações:

1. Na representação por extensão cada elemento deve ser escrito apenas uma vez;
2. É uma boa prática adotar a separação dos elementos em conjuntos numéricos como sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4};
3. Esta representação pode, também, ser adotada para conjuntos infinitos em que se evidencia a lei de formação de seus elementos e colocando-se reticências no final: {2, 4, 6, 8, 10, …};
4. Representação semelhante pode ser adotada para conjuntos finitos com um grande número de elementos: {0, 1, 2, 3, …, 100}.

b) Propriedade dos Elementos

Representação em que o conjunto é descrito por uma propriedade característica comum a todos os seus elementos. Simbolicamente:

A = {x | x tem a Propriedade P}

e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a propriedade P.

Exemplos:

• A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de 2006};
• B = {x | x é um número inteiro par e 8 < x < 22}. Último exemplo do item a) acima;
• C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}.

c) Diagrama de Euler-Venn

Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e não entrelaçada, como mostrado na figura abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os elementos do conjunto.

Conjunto Unitário e Conjunto Vazio

Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia de pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a existência de conjunto com apenas um elemento, chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado de conjunto vazio (Ø).

O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um conjunto onde a propriedade P é logicamente falsa.

Exemplos de Conjuntos Unitários:

• Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro};
• Conjunto dos números inteiros maiores do que 10 e menores do que 12: {11};
• Conjunto das vogais da palavra blog: {o}.

Exemplos de Conjuntos Vazios:

• {x | x > 0 e x < 0} = Ø;
• Conjunto dos meses com mais de 31 dias;
• {x | x² = -1 e x é um número real} = Ø.

Conjunto Universo

É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U.

Assim, se procuramos determinar as soluções reais de uma equação do segundo grau, nosso conjunto Universo U é R (conjunto dos números reais); se estamos interessados em determinar os deputados federais envolvidos com o mensalão, nesse caso o universo U tem como elementos todos os deputados federais da atual legislatura.

Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através de uma propriedade P, fixemos o conjunto universo em que estamos trabalhando, escrevendo:

Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A:

Observações:

1. A título de ilustração: O A invertido na expressão acima significa “para todo”;
2. {a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a noção de ordem não interfere na igualdade de conjuntos;
3. É evidente que para A ser diferente de B é suficiente que um elemento de A não pertença a B ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, c, d}.

Subconjunto

Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, e sómente se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B:

onde a notaçãosignifica “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. A leitura da notação no sentido inverso é feita como “B contém A”. Observe que a abertura do sinal de inclusão fica sempre direcionado para o conjunto “maior”. Na forma de diagrama é representado como:

Exemplos:

• {1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6}
• Ø C {a, b};
• {a, b} C {a, b};
• {a, b, c} ¢ {a, c, d, e}, onde ¢ significa “não está contido”, uma vez que o elemento b do primeiro conjunto não pertence ao segundo.

Observe que na definição de igualdade de conjuntos está explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, ou seja, que A está contido em B e B está contido em A. Assim, para provarmos que dois conjuntos são iguais devemos provar que:

Propriedades da Inclusão

Sejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as seguintes propriedades:

1. Ø C D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
2. D C D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio (propriedade Reflexiva);
3. D C E e E C D => D = E: veja acima (propriedade Anti-Simétrica);
4. D C E e E C F => D C F: Se um conjunto é subconjunto de um outro e este é subconjunto de um terceiro, então o primeiro é subconjunto do terceiro (propriedade Transitiva).

Com exceção da primeira propriedade, a demonstração das demais é bastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto, provar a primeira:

Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é um subconjunto de D, então é necessário que pelo menos um elemento desse conjunto não esteja contido no conjunto D. Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sentença Ø ¢ D é sempre falsa. Logo, o conjunto vazio está contido em D é sempre verdadeira.

Conjunto das Partes

Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E – P(E) – o conjunto formado por todos os subconjuntos de E:

Exemplos:

• Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b}, {a.c}. {b,c}, {a,b,c}}
• Se B = {a, b}, então P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}};
• Se C = {a}, então P(C) = {Ø, {a}}.

Observações:

1. Enfatizo, apesar de colocado na própria definição, que os elementos de P(E) são conjuntos;
2. Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos símbolos pertence (não pertence) e contido (não contido);
3. No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e {{a}} é um subconjunto de P(A);
4. Se definirmos n(E) como sendo o número de elementos do conjunto E, então n(P(E)) = 2^n(E). A propriedade é válida para conjuntos finitos;
5. Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 2³, n(B) = 2 e n(P(B)) = 4 = 2² e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 2¹.

A demonstração do item 5. é feita pelo Princípio da Indução Finita e será feita oportunamente.

Por enquanto é só. Aguardem o próximo artigo. Enquanto isto dê a sua opinião nos comentários, ela é muito importante.

Diagrama deVenn

Através de estudos relacionados à lógica, Jon Venn criou uma diagramação baseada em figuras no plano, esse método consiste basicamente em círculos que possuem a propriedade de representar relações entre conjuntos numéricos. Também pode ser utilizado no estudo da Estatística, a fim de organizar e analisar dados colhidos em pesquisas de opinião. Geralmente usamos os seguintes modelos de diagramas: 

Representação de conjunto único Números Naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6) 

Relação entre dois conjuntos: A e B. A = (1, 2, 3, 4, 5, 6) 
B = (5, 6, 7, 8, 9, 10) 

Símbolos 
U = união 
∩ = intersecção 

A U B = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) 
A ∩ B = (5, 6) 

Relação entre três conjuntos: A, B e C. 
A = (3, 4, 5, 6, 7, 8) 
B = (4, 6, 8, 10, 12) 
C = (1, 2, 3, 4, 6, 10) 


A U B = (3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12) 
A U C = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10) 
B U C = (1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12) 
A ∩ B = (4, 6, 8) 
A ∩ C = (3, 4, 6) 
C ∩ B = (4, 6, 10)

Podemos observar através dos exemplos que os diagramas representam de uma forma prática eeficiente as relações de união e de intersecção entre os conjuntos numéricos. Eles podem ser usados na representação de quaisquer conjuntos, no intuito de estabelecer uma melhor demonstração e compreensão dos elementos pertencentes ao conjunto

MRUV- Movimento Retilíneo Uniforme Variado

No MRUV passa a existir a aceleração constante, isso significa que a velocidade varia de uma forma uniforme. Poderíamos citar como exemplo desse tipo de movimento uma pedra caindo de uma certa altura ou um carro freando ao ver os sinal vermelho.

Então, o MRUV é aquele em que o móvel sofre variações de velocidades iguais em intervalos de tempo iguais.

 
MOVIMENTO ACELERADO




 
MOVIMENTO RETARDADO

No MRUV, como a aceleração é constante, a aceleração média será igual a instantânea, logo:

a = a_m

FUNÇÃO DA VELOCIDADE

Determinaremos, agora, a expressão que relaciona velocidade e tempo no MRUV. Para isso faremos algumas considerações iniciais.


Observe o esquema abaixo:

-  móvel parte com velocidade inicial vo no instante t = 0;
-  Num instante t qualquer ele estará com velocidade v.

Demontra ção


Partindo da definição da aceleração:     

Aplicando as observações descritas acima, temos:




Simplificando a expressão, temos que:

Isolando a velocidade v, fica:

Portanto a Função da velocidade no MRUV é dada por:

Oii Gentee

Bom, depois de algum tempo sem conseguir postar nada estou de volta na ativa, com novos conteúdos e tudo mais pra nos atualizar e relembrar conteúdos que nos são de grande ajuda! Então aproveitem bem! =D

O Homem que cauculava

De Malba Tahan

m nome de Alá, Clemente e Misericordioso!1

Voltava eu, certa vez, ao passo lento do meu camelo, pela estrada de

Bagdá, de uma excursão à famosa cidade de Samarra, nas margens do Tigre,

quando avistei, sentado numa pedra, um viajante, modestamente vestido, que

parecia repousar das fadigas de alguma viajem.

Dispunha-me a dirigir ao desconhecido o sala2 trivial dos caminhantes

quando, com grande surpresa, o vi levantar-se e pronunciar vagarosamente:

- Um milhão, quatrocentos e vinte e três mil, setecentos e quarenta e

cinco!

Sentou-se em seguida e quedou em silêncio, a cabeça apoiada nas mãos,

como se estivesse absorto em profunda meditação.

Parei a pequena distância e pus-me a observá-lo, como faria diante de um

monumento histórico dos tempos lendários.

Momentos depois o homem levantou-se novamente e, com voz clara e

pausada, enunciou outro número igualmente fabuloso:

- Dois milhões, trezentos e vinte e um mil, oitocentos e sessenta e seis!

E assim, várias vezes, o esquisito viajante pôs-se de pé, disse em voz alta

um número de vários milhões, sentando-se em seguida, na pedra tosca do

caminho.

Sem poder refrear a curiosidade que me espicaçava, aproximei-me do

desconhecido e, depois de saudá-lo em nome de Allah (com Ele a oração e a

glória)3, perguntei-lhe a significação daqueles números que só poderiam figurar

em gigantescas proporções.

- Forasteiro – respondeu o Homem que Calculava -, não censuro a

curiosidade que te levou a perturbar a marcha de meus cálculos e a serenidade de

meus pensamentos. E já que soubesse ser delicado no falar e no pedir, vou

atender ao teu desejo. Para tanto preciso, porém, contar-te a história de minha

vida!

E narrou o seguinte:

1 O árabe muçulmano não inicia uma obra literária, ou uma simples narrativa, sem fazer essa evocação respeitosa ao nome de

Deus. Vale por uma prece.

2 Saudação. Veja glossário.

3 “Alá” ou “Allah” – Deus. Os árabes designam o Criador por quatrocentos e noventa e nove nomes diferentes. Os muçulmanos,

sempre que pronunciam o nome de Deus, acrescentam-lhe uma expressão de alto respeito e adoração. O Deus dos muçulmanos

é o mesmo Deus dos cristãos. Os muçulmanos são rigorosamente monoteístas.
 
continua...